Question

17．等差数列{a_n}的首项a₁＞0，设其前n项和为S_n，且S₅=S₁₂，则当n为何值时，S_n有最大值？

Answer 1

分析 由已知得$5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=12{a}_{1}+\frac{12×11}{2}d$，从而得到a₁=-8d，由此利用等差数列的通项公式能求出当n为何值时，S_n有最大值．

解答 解：∵等差数列{a_n}的首项a₁＞0，设其前n项和为S_n，且S₅=S₁₂，
∴$5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=12{a}_{1}+\frac{12×11}{2}d$，
解得a₁=-8d，
∴S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}d$
=-8nd+$\frac{{n}^{2}}{2}d-\frac{n}{2}d$
=$\frac{d}{2}{n}^{2}-\frac{17d}{2}n$
=$\frac{d}{2}（{n}^{2}-17n）$
=$\frac{d}{2}（n-\frac{17}{2}）^{2}$-$\frac{289d}{8}$，
∴当n=8或n=9时，S_n有最大值．

点评 本题考查当n为何值时，S_n有最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质和配方法的合理运用．