题目内容
【题目】已知椭圆的中心在原点,焦点在
轴上,它的一个顶点恰好是抛物线
的焦点,离心率等于
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过椭圆的右焦点
作直线
交椭圆
于
两点,交
轴于
点,若
,求证
为定值.
【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】
(1)分析题意可得b=1,再根据离心率的表达式和a,b,c之间的系数关系可求得标准方程
(2)将直线与椭圆方程进行联立,利用韦达定理,再结合题意即可
(1)设椭圆的标准方程为为,
由题b=1,.即
,
∴椭圆C的方程为.
(2)方法一:设A、B、M点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,y0).易知F点的坐标为(2,0).,
∴(x1,y1-y0)=λ1(2-x1,-y1),,
将A点坐代入到椭圆方程中,得,
去分母整理得.同理,由
,
可得,∴λ1,λ2是方程
的两个根,∴λ1+λ2=-10.故λ1+λ2为定值.
方法二:设A、B、M点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,y0).又易知F点的坐标为(2,0).显然直线存在斜率,设直线
的斜率为k,则直线
的方程是y=k(x-2).将直线
的方程代入到椭圆C的方程中,消去y并整理得(1+5k2)x2-20k2x+20k2-5=0.
.
又,将各点坐标代入得
,
,
故λ1+λ2为定值.
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