题目内容
【题目】已知椭圆,
为椭圆
的右焦点,
为椭圆上一点,
的离心率
(1)求椭圆的标准方程;
(2)斜率为的直线
过点
交椭圆
于
两点,线段
的中垂线交
轴于点
,试探究
是否为定值,如果是,请求出该定值;如果不是,请说明理由.
【答案】(1)(2)是定值,
【解析】
(1)已知为椭圆上一点,可代入椭圆方程,结合离心率
和
,求出
,即可得椭圆
的标准方程;
(2)直线斜率时得出定值,
时设出直线方程,联立方程组,利用弦长公式求出
,再得出
的中点坐标和线段
的中垂线方程,得出点
的坐标,从而求出
,求得
为定值.
(1)解得
∴椭圆方程为
(2)当时,
当时,直线
方程为
,假设
两点坐标分别为
,把直线
代入椭圆方程
中得:
,显然
恒成立
则线段中点坐标为
,
线段的中垂线方程为
,即
令,则
,
∴
综上所述,(定值)
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