题目内容
【题目】如图,在平行四边形中,
,平面
平面
,且
.
(1)在线段上是否存在一点
,使
平面
,证明你的结论;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)存在点,点
为
的中点,证明见解析;(2)
【解析】
(1)容易判断出点为
的中点,根据中位线定理得到
,再根据线面平行的判定定理证明即可;
(2)根据题目给出的数据,找出两两垂直的关系,建立空间直角坐标系,利用向量法求出二面角的余弦值.
(1)存在点,点
为
的中点
证明:当点为
的中点时,连结
交
于
,
∵平行四边形,∴
为
的中点,
连结,则
,
∵平面
,
平面
,∴
平面
.
(2)∵,
∴,∴
,
,∴
,
又∵平面平面
,∴
平面
,
平面
,
以为
轴,
为
轴,
为
轴,如图建系:
则,
,
,
,
∴,
∴为平面
的一个法向量,
令平面的一个法向量为
,
∴取
,
,
∴平面的一个法向量为
,
令二面角为
,由题意可知
为锐角,
则.
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