题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,已知
底面
,
,
,
,
,
是
上一点.
(1)求证:平面平面
;
(2)若是
的中点,且二面角
的余弦值是
,求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)先证明平面
,然后可得平面
平面
;
(2)建立坐标系,根据二面角的余弦值是
可得
的长度,然后可求直线
与平面
所成角的正弦值.
(1)平面
,
平面
,得
.
又,在
中,得
,
设中点为
,连接
,则四边形
为边长为1的正方形,所以
,且
,
因为,所以
,
又因为,所以
平面
,
又平面
,所以平面
平面
.
(2)以为坐标原点,分别以射线
射线
为
轴和
轴的正方向,建立如图空间直角坐标系,
则,
,
.
又设,则
,
,
,
,
.
由且
知,
为平面
的一个法向量.
设为平面
的一个法向量,则
,
即,取
,
,则
,有
,得
,从而
,
.
设直线与平面
所成的角为
,则
.
即直线与平面
所成角的正弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】已知椭圆,
为椭圆
的右焦点,
为椭圆上一点,
的离心率
(1)求椭圆的标准方程;
(2)斜率为的直线
过点
交椭圆
于
两点,线段
的中垂线交
轴于点
,试探究
是否为定值,如果是,请求出该定值;如果不是,请说明理由.
【题目】某高校健康社团为调查本校大学生每周运动的时长,随机选取了80名学生,调查他们每周运动的总时长(单位:小时),按照共6组进行统计,得到男生、女生每周运动的时长的统计如下(表1、2),规定每周运动15小时以上(含15小时)的称为“运动合格者”,其中每周运动25小时以上(含25小时)的称为“运动达人”.
表1:男生
时长 | ||||||
人数 | 2 | 8 | 16 | 8 | 4 | 2 |
表2:女生
时长 | ||||||
人数 | 0 | 4 | 12 | 12 | 8 | 4 |
(1)从每周运动时长不小于20小时的男生中随机选取2人,求选到“运动达人”的概率;
(2)根据题目条件,完成下面列联表,并判断能否有99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关.
每周运动的时长小于15小时 | 每周运动的时长不小于15小时 | 总计 | |
男生 | |||
女生 | |||
总计 | |||
参考公式:,其中
.
参考数据:
0.40 | 0.25 | 0.10 | 0.010 | |
0.708 | 1.323 | 2.706 | 6.635 |