题目内容
【题目】已知函数f(x).
(1)当a≤e时,求证:当x=1时函数f(x)取得极小值:
(2)若函数f(x)有4个零点,求a的取值范围.
【答案】(1)见解析(2)a>6e
【解析】
(1)由题可得f'(x)=(x﹣1)(ex﹣ax).①当a≤0时,对任意x∈(0,+∞),都有ex﹣ax>0恒成立,易得函数f(x)在x=1处取得极小值,②当0≤a≤e时,令g(x)=ex﹣ax,令g′(x)=0,得x=lna,
再论证当1<a≤e,0<a≤1时,都有ex﹣ax≥0恒成立即可.
(2)由(1)知当a≤e时,当x=1时函数f(x)取得极小值,所以f(x)最多有2个零点;当a≥0时,ex﹣ax>0,f'(x)<0,即f(x)在(﹣∞,0]上单调减,所以f(x)最多有2个零点;当a<0时,设g(x)=ex﹣ax,g'(x)=ex﹣a>0,又,由零点存在定理,存在使得g(x0)=0,是 f(x)的极大值点,所以f(x)最多有3个零点;所以要使得f(x)有4个零点,则a>e,根据(1)知,g(x)min=g(lna)=a(1﹣lna)<0,又g(1)=e﹣a<0,g(0)=1>0,g(a)=ea﹣a2>0,由零点存在定理,则存在0<x1<1<x2,使得g(x1)=g(x2)=0,所以f'(x)=0有3个零点x1,1,x2,要有4个零点,则即可.
(1)由题可得f'(x)=(x﹣1)(ex﹣ax).
①当a≤0时,对任意x∈(0,+∞),都有ex﹣ax>0恒成立,
所以当0<x<1时,f′(x)<0;当x>1时,f′(x)>0.
所以函数f(x)在x=1处取得极小值,符合题意.
②当0≤a≤e时,设g(x)=ex﹣ax,依然取x∈(0,+∞).
则g′(x)=ex﹣a,令g′(x)=0,得x=lna,
当1<a≤e时,lna>0,所以g(x)在(0,lna)上单调递减,在区间(lna,+∞)上单调递增,
所以g(x)min=g(lna)=a(1﹣lna).
因为1<a≤e,所以g(x)min=a(1﹣lna)≥0.当且仅当a=e时,等号成立,此时x=1,
所以对任意x∈(0,1)∪(1,+∞),都有ex﹣ax≥0恒成立.
当0<a≤1时,由x∈(0,+∞)时ex>1得g′(x)=ex﹣a≥0,
所以当0<x<1时,f′(x)<0;当x>1时,f′(x)>0.
所以函数f(x)在x=1处取得极小值,符合题意.
综上①②可知:当a≤e时x=1是函数f(x)的极小值点.
(2)由(1)得当a≤e时,f(x)在(0,1)上单调减,在(1,+∞)单调增;
在x≤0时,x﹣1<0,
当a≥0时,ex﹣ax>0,f'(x)<0,即f(x)在(﹣∞,0]上单调减,所以f(x)最多有2个零点;
当a<0时,设g(x)=ex﹣ax,g'(x)=ex﹣a>0,又,
所以存在使得g(x0)=0,则
在(﹣∞,x0)上g(x)<0,f'(x)>0,f(x)单调增,
在(x0,0]上,g(x)>0,f'(x)<0,f(x)单调减,
所以f(x)最多有3个零点;
所以要使得有4个零点,a>e,
由(1)得g(x)min=g(lna)=a(1﹣lna)<0,
又g(1)=e﹣a<0,g(0)=1>0,g(a)=ea﹣a2>0
(证明:h(a)=a﹣2lna(a>2),则,
所以h(a)在(2,+∞)单调增,所以在(e,+∞)上h(a)>h(e)=e﹣2>0,所以a>2lna,即ea>a2,
所以存在0<x1<1<x2,使得g(x1)=g(x2)=0,
又当x≤0时,g(x)>0,所以f'(x)=0有3个零点x1,1,x2,
当x<x1,或1<x<x2,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,
当x>x2,或x1<x<1,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,
所以要有4个零点,,即a>6e,
此时,f(0)=﹣2<0,,
设m(a)=a﹣3lna(a>3),,
所以在(6e,+∞)上m(a)>m(6e)>m(e2)=e2﹣6>0,
所以a>3lna,即ea>a3,
又,
综上,当且仅当a>6e时,函数f(x)有4个零点.