题目内容
【题目】如图所示的正四棱柱的底面边长为
,侧棱
,点
在棱
上,
且 (
).
(1)当时,求三棱锥
的体积;
(2)当异面直线与
所成角的大小为
时,求
的值.
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析:(1)正四棱柱中,
平面
,可得
;(2)以
为原点,射线
、
、
作
轴、
轴、
轴的正半轴,建立空间直角坐标系,可得
,
,利用空间向量夹角余弦公式列方程求解即可.
试题解析:(1)由,得
, 又正四棱柱
,则
平面
,
则
.
(2)以为原点,射线
、
、
作
轴、
轴、
轴的正半轴,建立空间直角坐标系(如图),
则,
,
,
,
即,
又异面直线与
所成角的大小为
,
则,
化简整理得,又
,即
.
【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求异面直线所成的角角,属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离.
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