题目内容
15．已知z∈C，$\overline{z}$表示z的共轭复数，若z•$\overline{z}$-3i$\overline{z}$=$\frac{10}{1+3i}$，求z．分析 设z=a+bi，（a，b∈R）则$\overline{z}$=a-bi，代入已知式子由复数相等可得ab的方程组，解方程组可得．
解答 解：设z=a+bi，（a，b∈R）则$\overline{z}$=a-bi，
∵z•$\overline{z}$-3i$\overline{z}$=$\frac{10}{1+3i}$，∴（a+bi）（a-bi）+3i（a-bi）=$\frac{10}{1+3i}$，
∴a2+b2+3ai+3b=$\frac{10（1-3i）}{（1+3i）（1-3i）}$=1-3i，
由复数相等的定义可得a2+b2+3b=1且3a=-3，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，即z=-1或z=-1-3i
点评 本题考查复数相等，涉及共轭复数和方程组的解法，属基础题．
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