Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.

（1）请分别写出直线与曲线的直角坐标方程；

（2）已知直线与曲线交于，两点，设，且，求实数的值.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）利用， 等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化；

（2）把直线l的参数方程代入曲线C的方程，设点，分别对应参数，，根据|PQ|2=|MP||MQ|，根据根与系数的关系即可得出．

（1）直线的极坐标方程为，所以，

化为直角坐标方程，即.

曲线的极坐标方程为，所以，

化为直角坐标方程，即.

（2）因为点在直线上，

所以可取直线的参数方程为（为参数）

设点，分别对应参数，，则 ，

将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，并化简得.

因为，所以 .

且，

因为，

所以 ，所以，即，

则有，得或.

因为，所以.