题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)讨论函数的单调性;
(Ⅱ)设,若对任意的
,
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(Ⅰ) (1)若,
在
上单调递增;(2)若
,
在
上单调递增;在
上单调递减; (Ⅱ)
.
【解析】
(I)先求得函数的导数和定义域,然后对分成
两类,讨论函数的单调性.(II)将原不等式恒成立转化为“
对任意的
恒成立”,根据(I)的结论,结合函数的单调性,以及
恒成立,求得
的取值范围.
(Ⅰ)
,
(1)若,则
,函数
在
上单调递增;
(2)若,由
得
;由
得
函数
在
上单调递增;在
上单调递减.
(Ⅱ)由题设,对任意的
恒成立
即对任意的
恒成立
即对任意的
恒成立 ,
由(Ⅰ)可知,
若,则
,
不满足
恒成立,
若,由(Ⅰ)可知,函数
在
上单调递增;在
上单调递减.
,又
恒成立
,即
,
设,则
函数
在
上单调递增,且
,
,解得
的取值范围为
.
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【题目】随着电商的快速发展,快递业突飞猛进,到目前,中国拥有世界上最大的快递市场.某快递公司收取快递费用的标准是:重量不超过的包裹收费10元;重量超过
的包裹,除
收费10元之外,每超过
(不足
,按
计算)需再收5元.
该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下:
包裹重量(单位: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
包裹件数 | 43 | 30 | 15 | 8 | 4 |
公司对近60天,每天揽件数量统计如下表:
包裹件数范围 | 0~100 | 101~200 | 201~300 | 301~400 | 401~500 |
包裹件数(近似处理) | 50 | 150 | 250 | 350 | 450 |
天数 | 6 | 6 | 30 | 12 | 6 |
以上数据已做近似处理,并将频率视为概率.
(1)计算该公司未来5天内恰有2天揽件数在101~300之间的概率;
(2)①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值;
②根据以往的经验,公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润,剩余的用作其他费用.目前前台有工作人员3人,每人每件揽件不超过150件,日工资100元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人,试计算裁员前后公司每日利润的数学期望,若你是公司老总,是否进行裁减工作人员1人?