题目内容
【题目】设函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若,证明
恒成立.
【答案】(1)当时,
在区间
上单调递增;当
时,
在区间
上单调递减,在区间
上单调递增;(2)证明见详解.
【解析】
(1)求导,对参数进行分类讨论,进而求得函数的单调区间;
(2)将恒成立问题,转化两个函数最值之间的问题,进而求解.
(1)由题意得,
.
①当时,
,故函数
在区间
上单调递增;
②当时,在区间
上,
,在区间
上,
,
故函数在区间
上单调递减,在区间
上单调递增.
(2)证明:
要证,只需证
.
又,故只需证
即可.
设,则
,
在区间上,
,在区间
上,
,
故函数在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,
所以.
设,则
,
在区间上,
,在区间
上,
,
故函数在区间
上单调递增,在区间
上单调递减,
所以.
又,所以
.
又因为,所以
,
所以,
故在上,
,
综上,恒成立.
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