题目内容
【题目】已知函数,
,(其中
,
为自然对数的底数,
……).
(1)令,若
对任意的
恒成立,求实数
的值;
(2)在(1)的条件下,设为整数,且对于任意正整数
,
,求
的最小值.
【答案】(1)1;(2)2
【解析】试题分析:(1)求出函数的导数,求出h(x)的解析式,求出函数的导数,通过讨论a的范围,求出函数的单调区间,从而求出函数的最小值,求出a的值即可;(2)得到1+x≤ex,令x=﹣(n∈N*,k=0,1,2,3,…,n﹣1),则0<1﹣
≤
,得到
累加,通过放大不等式,证明即可.
解析:
(1)因为,所以
,
由对任意的
恒成立,即
,由
,
(i)当时,
,
的单调递增区间为
,
所以时,
,所以不满足题意.
(ii)当时,由
,得
时,
,
时,
,
所以在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,
所以的最小值为
.
设,所以
,① 因为
,令
得
,所以
在区间
上单调递增,在区间
上单调递减,
所以,②,由①②得
,则
.
(2)由(1)知,即
,
令(
,
)则
,
所以,
所以
,
所以,又
,所以
的最小值为
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