Question

已知AB是圆O的直径，C为圆O上一点，CD⊥AB于点D，弦BE与CD、AC分别交于点M、N，且MN=MC

（1）求证：MN=MB；
（2）求证：OC⊥MN。

Answer 1

详见解析

试题分析：（1）连结，根据直径所对的圆周角是直角，得，根据等量代换得，最后利用三角形的性质即可得出，从而得到；
（2）设，根据，得到，再由（1）知，，等量代换得，即即可证出结论．此题比较基础，属于基础题型，平时多加练习，能够拿满分.
试题解析：证明：（1）连结AE，BC，∵AB是圆O的直径，∴∠AEB=90°，∠ACB=90°∵MN=MC，∴∠MCN=∠MNC又∵∠ENA=∠MNC，∴∠ENA=∠MCN∴∠EAC=∠DCB，∵∠EAC=∠EBC，∴∠MBC=∠MCB，∴MB=MC∴MN=MB．      5分
（2）设OC∩BE=F，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB
由（1）知，∠MBC=∠MCB，∴∠DBM=∠FCM．又∵∠DMB=∠FMC
∴∠MDB=∠MFC，即∠MFC=90°∴OC⊥MN．        10分