题目内容
16.公差不为0的等差数列{an}的首项为1,且a2,a5,a14构成等比数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ) 证明:对一切正整数n,有$\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+…+\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}<\frac{1}{2}$.
分析 (I)利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出;
(II)利用“裂项求和”、“放缩法”即可得出.
解答 解:( I)设公差为d,∵a2,a5,a14构成等比数列,
∴$a_5^2={a_2}•{a_{14}}$,
即(1+4d)2=(1+d)•(1+13d),
化简得d2-2d=0,
∵公差不为0,∴公差d=2.
∴数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1.
( II)$\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+…+\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{1•3}+\frac{1}{3•5}+\frac{1}{5•7}+…+\frac{1}{{({2n-1})({2n+1})}}$=$\frac{1}{2}•[{({1-\frac{1}{3}})+({\frac{1}{3}-\frac{1}{5}})+({\frac{1}{5}-\frac{1}{7}})+({\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}})}]$=$\frac{1}{2}•[{1-\frac{1}{2n+1}}]<\frac{1}{2}$.
点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、“放缩法”,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
练习册系列答案
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