Question

设P为双曲线x²-

y2

12

=1上的一点，F₁，F₂是该双曲线的左、右焦点，若△PF₁F₂的面积为12，则∠F₁PF₂等于

π

2

．

Answer 1

分析：由双曲线方程算出焦距|F₁F₂|=2

13

，根据双曲线定义得到||PF₁|-|PF₂||=2．然后在△PF₁F₂中运用余弦定理，得出关于|PF₁|、|PF₂|和cos∠F₁PF₂的式子；而△PF₁F₂的面积为12，得到|PF₁|、|PF₂|和sin∠F₁PF₂的另一个式子．两式联解即可得到∠F₁PF₂的大小．

解答：解：∵双曲线方程为x²-

y2

12

=1，
∴c²=a²+b²=13，可得双曲线的左焦点F₁（-

13

，0），右焦点F₂（

13

，0）
根据双曲线的定义，得||PF₁|-|PF₂||=2a=2
∴由余弦定理，得|F₁F₂|²=（|PF₁|-|PF₂|）²+（2-2cos∠F₁PF₂）|PF₁|•|PF₂|
即：52=4+（2-2cos∠F₁PF₂）|PF₁|•|PF₂|，可得|PF₁|•|PF₂|=

48

2-2cos∠F1PF2

又∵△PF₁F₂的面积为12，
∴

1

2

|PF₁|•|PF₂|sin∠F₁PF₂=12，即

24sin∠F1PF2

2-2cos∠F1PF2

=12
结合sin²∠F₁PF₂+cos²∠F₁PF₂=1，
解之得sin∠F₁PF₂=1且cos∠F₁PF₂=0，
∴∠F₁PF₂等于

π

2

故答案为：

π

2

点评：本题给出双曲线上一点P与双曲线两个焦点F₁、F₂构成的三角形面积为12，求∠F₁PF₂的大小，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．