Question

2．已知函数y=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{x}^{2}-x-6}$．
（1）若x∈[2，3]，求该函数的最大值和最小值；
（2）求该函数的单调区间．

Answer 1

分析 （1）设t=x²-x-6，若x∈[2，3]，根据复合函数单调性以及最值的关系即可求该函数的最大值和最小值；
（2）利用换元法结合复合函数单调性之间的关系进行求解即可．

解答 解：（1）设t=x²-x-6，则t=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{25}{4}$，
对称轴为x=$\frac{1}{2}$，
∵x∈[2，3]，∴函数t=g（x）=x²-x-6为增函数，
则函数t=x²-x-6的最大值为t=g（3）=0，最小值为g（2）=-4．
∵y=（$\frac{1}{2}$）^t为减函数，
∴函数y=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{x}^{2}-x-6}$的最大值为（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，
函数y=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{x}^{2}-x-6}$的最小值为（$\frac{1}{2}$）³=$\frac{1}{8}$．
（2）设t=x²-x-6，则t=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{25}{4}$，对称轴为x=$\frac{1}{2}$，
则y=（$\frac{1}{2}$）^t为减函数，
当x≥$\frac{1}{2}$时，函数t=x²-x-6为增函数，
∵y=（$\frac{1}{2}$）^t为减函数，∴y=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{x}^{2}-x-6}$为减函数，即单调递减区间为[$\frac{1}{2}$，+∞），
当x≤$\frac{1}{2}$时，函数t=x²-x-6为减函数，
∵y=（$\frac{1}{2}$）^t为减函数，∴y=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{x}^{2}-x-6}$为增函数，即单调递增区间为（-∞，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题主要考查函数最值和单调性的求解和判断，利用换元法结合复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．