题目内容
11.设F1,F2分别为椭圆E:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)的左、右焦分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B,P为椭圆上在第一象限内一点,S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$,S${\;}_{△PA{F}_{2}}$,S${\;}_{△PB{F}_{1}}$分别为△PF1F2,△PAF2,△PBF1的面积,若S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=S${\;}_{△PA{F}_{2}}$=S${\;}_{△PB{F}_{1}}$,则直线PF1的斜率为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$.分析 通过设P(x,y),利用四边形F1BPA的面积S=${S}_{△BO{F}_{1}}$+S四边形BOAP=3${S}_{△PA{F}_{2}}$计算、整理可知bc+bx+ay=3(a-c)y,通过S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=S${\;}_{△PA{F}_{2}}$可知a=3c,进而可知b=$2\sqrt{2}$c,代入计算、化简可知y=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$(x+c),从而可得结论.
解答 解:依题意设P(x,y),则x>0、y>0,
则四边形F1BPA的面积S=${S}_{△BO{F}_{1}}$+S四边形BOAP
=$\frac{1}{2}$bc+$\frac{1}{2}$bx+$\frac{1}{2}$ay
=3${S}_{△PA{F}_{2}}$
=3×$\frac{1}{2}$×(a-c)y,
即bc+bx+ay=3(a-c)y,
又∵S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=S${\;}_{△PA{F}_{2}}$,即点F2为线段AF1的中点,
∴2c=a-c,即a=3c,
∴b2=a2-c2=8c2,即b=$2\sqrt{2}$c,
代入bc+bx+ay=3(a-c)y,得$2\sqrt{2}$c2+$2\sqrt{2}$cx+3cy=6cy,
化简得:y=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$(x+c),
∴直线PF1的斜率为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$,
故答案为:$\frac{2\sqrt{2}}{3}$.
点评 本题考查椭圆的简单性质,考查运算求解能力,利用三角形的面积公式是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.
练习册系列答案
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