题目内容

7．已知函数f（x）=log2（1+x2），
求证：
（1）函数f（x）是偶函数；
（2）函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．

分析 （1）根据偶函数的定义，结合已知中函数的解析式，可得函数f（x）是偶函数；
（2）根据复合函数单调性“同增异减”的原则，结合二次函数和对数函数的单调性，可证得函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．

解答 解：（1）∵函数f（x）=log2（1+x2）的定义域R关于原点对称，
且f（-x）=log2[1+（-x）2]=log2（1+x2）=f（x），
故函数f（x）是偶函数；
（2）当x∈（0，+∞），t=1+x2为增函数，
又由y=log2t也为增函数，
故函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，函数的奇偶性，复合函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．

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