Question

12．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²+alnx．
（1）若a=1，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若a=-2，求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）a=1时，求出f（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}+lnx$，然后求导数f′（x），从而可求出切线的斜率为f′（1），f（1）可以求出，根据直线的点斜式方程即可得出切线方程；
（2）a=-2时，求出f（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}-2lnx$，求导数f′（x）=$\frac{{x}^{2}-2}{x}$，从而可以判断f′（x）在[1，e]上的符号，再根据端点值便可得出f（x）在[1，e]上的最大值和最小值．

解答 解：（1）a=1时，$f（x）=\frac{1}{2}{x}^{2}+lnx$，$f′（x）=x+\frac{1}{x}$；
∴f′（1）=2，f（1）=$\frac{1}{2}$；
即切线的斜率为2，过点（1，$\frac{1}{2}$）；
∴切线方程为：$y-\frac{1}{2}=2（x-1）$；
即y=$2x-\frac{3}{2}$；
（2）a=-2时，$f（x）=\frac{1}{2}{x}^{2}-2lnx$，$f′（x）=x-\frac{2}{x}=\frac{{x}^{2}-2}{x}$；
∴$x∈[1，\sqrt{2}）$时，f′（x）＜0，x$∈（\sqrt{2}，e]$时，f′（x）＞0；
∴$x=\sqrt{2}$时，f（x）取最小值1-ln2，又f（1）=$\frac{1}{2}$，f（e）=$\frac{1}{2}{e}^{2}-2$＞$\frac{1}{2}$；
∴f（x）的最大值为$\frac{1}{2}{e}^{2}-2$．

点评 考查过函数上某点的切线的斜率和该函数在切点处导数的关系，直线的点斜式方程，根据导数求函数在闭区间上最大、最小值的方法：根据导数符号求极值，再比较端点值．