Question

5．已知数列{a_n}中，a₁=4，a_n+1=a_n+2$\sqrt{{a}_{n}}$+1，则$\sqrt{{a}_{2015}}$=（　　）

• A． 2014
• B． 2015
• C． 2016
• D． 2017

Answer 1

分析 通过变形可知$（\sqrt{{a}_{n+1}}）^{2}$=$（\sqrt{{a}_{n}}+1）^{2}$，利用a_n＞0可知数列{$\sqrt{{a}_{n}}$}是以$\sqrt{{a}_{1}}$=2为首项、1为公差的等差数列，进而计算可得结论．

解答 解：依题意，a_n＞0，
∵a_n+1=a_n+2$\sqrt{{a}_{n}}$+1，
∴$（\sqrt{{a}_{n+1}}）^{2}$=$（\sqrt{{a}_{n}}+1）^{2}$，即$\sqrt{{a}_{n+1}}$=$\sqrt{{a}_{n}}$+1，
∴数列{$\sqrt{{a}_{n}}$}是以$\sqrt{{a}_{1}}$=2为首项、1为公差的等差数列，
∴$\sqrt{{a}_{n}}$=2+（n-1）=n+1，
∴$\sqrt{{a}_{2015}}$=2016，
故选：C．

点评 本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．