Question

10．已知等差数列{a_n}的公差为2，且a₁，a₁+a₂，2（a₁+a₄）成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$}的前n项和为S_n．

Answer 1

分析 （1）通过等差数列{a_n}的公差为2可知a₂=a₁+2、a₄=a₁+6，通过a₁，a₁+a₂，2（a₁+a₄）成等比数列可知$（{a}_{1}+{a}_{2}）^{2}$=2a₁（a₁+a₄），计算可知首项a₁=1，进而计算可得结论；
（2）通过（1）可知a_n=2n-1，从而$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$，利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（1）∵等差数列{a_n}的公差为2，
∴a₂=a₁+2，a₄=a₁+6，
又∵a₁，a₁+a₂，2（a₁+a₄）成等比数列，
∴$（{a}_{1}+{a}_{2}）^{2}$=2a₁（a₁+a₄），即$（2{a}_{1}+2）^{2}$=2a₁（2a₁+6），
整理得：a₁=1，
∴数列{a_n}是以1为首项、2为公差的等差数列，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）由（1）可知a_n=2n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$，
∴S_n=1•$\frac{1}{{2}^{0}}$+3•$\frac{1}{2}$+5•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
$\frac{1}{2}$S_n=1•$\frac{1}{2}$+3•$\frac{1}{{2}^{2}}$+5•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（2n-3）•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}$S_n=1+2[$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$]-（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴S_n=2+4（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）-2（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$
=2+4•$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-2（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$
=2+4-$\frac{8}{{2}^{n}}$-$\frac{4n-2}{{2}^{n}}$
=6-$\frac{4n+6}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题．