Question

20．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=（n²+n-λ）a_n（n=1，2，…），λ是常数．
（1）当a₂=-1时，求λ及a₃的值；
（2）是否存在实数λ使数列{a_n}为等差数列？若存在，求出λ及数列{a_n}的通项公式，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用a₂的值列出关于λ的方程，进而求出λ的值，再根据a₂的值计算出a₃的值；
（2）通过假设数列{a_n}可能为等差数列，利用该数列的前3项成等差数列得出关于λ的方程，进而确定出λ的值，验证数列后面的项是否满足等差数列即可．

解答 解：（1）∵a_n+1=（n²+n-λ）a_n（n=1，2，…），且a₁=1，
∴当a₂=-1时，得-1=2-λ，即λ=3，
∴a₃=（2²+2-3）×（-1）=-3．
（2）结论：不存在实数λ使数列{a_n}为等差数列．
理由如下：
∵a₁=1，a_n+1=（n²+n-λ）a_n，
∴a₂=2-λ，a₃=（6-λ）（2-λ），a₄=（12-λ）（6-λ）（2-λ）．
假设存在λ使{a_n}为等差数列，则a₃-a₂=a₂-a₁，
即（5-λ）（2-λ）=1-λ，解得λ=3．
于是a₂-a₁=1-λ=-2，
a₄-a₃=（11-λ）（6-λ）（2-λ）=-24．
这与{a_n}为等差数列矛盾．
综上，对任意λ数列{a_n}都不可能是等差数列．

点评 本题考查数列递推关系确定数列的问题，考查数列为等差数列的判定方法、探究性问题的解决思路，考查学生解决问题的方程思想、确定一个命题为假命题的方法，关键要进行问题的转化，考查学生的运算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．