题目内容
【题目】已知函数f(x)=xlnx+ax(a∈R).
(Ⅰ)当a=0,求f(x)的最小值;
(Ⅱ)若函数g(x)=f(x)+lnx在区间[1,+∞)上为增函数,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)过点P(1,﹣3)恰好能作函数y=f(x)图象的两条切线,并且两切线的倾斜角互补,求实数a的取值范围.
【答案】解:(I)f(x)的定义域为(0,+∞) ,
当x∈(0,+∞)时,f'(x),f(x)的变化的情况如下:
x | |||
f'(x) | ﹣ | 0 | + |
f(x) | 极小值 |
∴f(x)的最小值是f( )=﹣ .
(Ⅱ)由题意得:
∵函数g(x)在区间[1,+∞)上为增函数,
∴当x∈[1,+∞)时g'(x)≥0,即 在[1,+∞)上恒成立,
∴ ,
∴ ,
∴ 在[1,+∞)上递增,
∴﹣(a+1)≤h(1)=1,
∴a≥﹣2
(Ⅲ)设两切点A(x1 , f(x1)),B(x2 , f(x2)),f'(x)=lnx+1+a
则函数y=f(x)在A,B处的切线方程分别为y=(lnx1+1+a)(x﹣x1)+x1lnx1+ax1=(lnx1+1+a)x﹣x1 ,
∴y=(lnx2+1+a)(x﹣x2)+x2lnx2+ax2=(lnx2+1+a)x﹣x2
且lnx1+1+a+lnx2+1+a=0
即 也即
即x1 , x2是方程t2﹣6t+e﹣2(a+1)=0的两个正根,
∴△=36﹣4e﹣2(a+1)>0,
∴a>﹣1﹣ln3
【解析】(Ⅰ)求导函数,确定函数的单调性,即可求f(x)的最小值;(Ⅱ)函数g(x)在区间[1,+∞)上为增函数,可得当x∈[1,+∞)时g'(x)≥0,即 在[1,+∞)上恒成立,求出左边的最小值,即可求实数a的取值范围;(Ⅲ)求出函数y=f(x)在A,B处的切线方程,利用过点P(1,﹣3),两切线的倾斜角互补,建立方程组,即可求实数a的取值范围.
【题目】在统计学中,偏差是指个别测定值与测定的平均值之差,在成绩统计中,我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差,班主任为了了解个别学生的偏科情况,对学生数学偏差x(单位:分)与物理偏差y(单位:分)之间的关系进行学科偏差分析,决定从全班56位同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析,得到他们的两科成绩偏差数据如下:
学生序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
数学偏差x | 20 | 15 | 13 | 3 | 2 | -5 | -10 | -18 |
物理偏差y | 6.5 | 3.5 | 3.5 | 1.5 | 0.5 | -0.5 | -2.5 | -3.5 |
(1)已知x与y之间具有线性相关关系,求y关于x的线性回归方程;
(2)若这次考试该班数学平均分为118分,物理平均分为90.5,试预测数学成绩126分的同学的物理成绩.
参考公式: .
参考数据: .