题目内容

【题目】已知函数f(x)=xlnx+ax(a∈R).
(Ⅰ)当a=0,求f(x)的最小值;
(Ⅱ)若函数g(x)=f(x)+lnx在区间[1,+∞)上为增函数,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)过点P(1,﹣3)恰好能作函数y=f(x)图象的两条切线,并且两切线的倾斜角互补,求实数a的取值范围.

【答案】解:(I)f(x)的定义域为(0,+∞)
当x∈(0,+∞)时,f'(x),f(x)的变化的情况如下:

x

f'(x)

0

+

f(x)

极小值

∴f(x)的最小值是f( )=﹣
(Ⅱ)由题意得:
∵函数g(x)在区间[1,+∞)上为增函数,
∴当x∈[1,+∞)时g'(x)≥0,即 在[1,+∞)上恒成立,


在[1,+∞)上递增,
∴﹣(a+1)≤h(1)=1,
∴a≥﹣2
(Ⅲ)设两切点A(x1 , f(x1)),B(x2 , f(x2)),f'(x)=lnx+1+a
则函数y=f(x)在A,B处的切线方程分别为y=(lnx1+1+a)(x﹣x1)+x1lnx1+ax1=(lnx1+1+a)x﹣x1
∴y=(lnx2+1+a)(x﹣x2)+x2lnx2+ax2=(lnx2+1+a)x﹣x2
且lnx1+1+a+lnx2+1+a=0
也即
即x1 , x2是方程t2﹣6t+e2a+1=0的两个正根,
∴△=36﹣4e2a+1)>0,
∴a>﹣1﹣ln3
【解析】(Ⅰ)求导函数,确定函数的单调性,即可求f(x)的最小值;(Ⅱ)函数g(x)在区间[1,+∞)上为增函数,可得当x∈[1,+∞)时g'(x)≥0,即 在[1,+∞)上恒成立,求出左边的最小值,即可求实数a的取值范围;(Ⅲ)求出函数y=f(x)在A,B处的切线方程,利用过点P(1,﹣3),两切线的倾斜角互补,建立方程组,即可求实数a的取值范围.

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