Question

【题目】已知函数的最小正周期为，且直线是其图象的一条对称轴．

（1）求函数的解析式；

（2）在中，角、、所对的边分别为、、，且，，若角满足，求的取值范围；

（3）将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍后所得到的图象对应的函数记作，已知常数，，且函数在内恰有个零点，求常数与的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），.

【解析】

（1）由函数的周期公式可求出的值，求出函数的对称轴方程，结合直线为一条对称轴结合的范围可得出的值，于此得出函数的解析式；

（2）由得出，再由结合锐角三角函数得出，利用正弦定理以及内角和定理得出，由条件得出，于此可计算出的取值范围；

（3）令，得，换元得出，得出方程，设该方程的两根为、，由韦达定理得出，分（ii）、；（ii），；（iii），三种情况讨论，计算出关于的方程在一个周期区间上的实根个数，结合已知条件得出与的值.

（1）由三角函数的周期公式可得，，

令，得，

由于直线为函数的一条对称轴，所以，，

得，由于，，则，

因此，；

（2），由三角形的内角和定理得，.

，且，，.

，

由，得，由锐角三角函数的定义得，，

由正弦定理得，，

，

，且，，，.

，因此，的取值范围是；

（3）将函数的图象向右平移个单位，

得到函数，

再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍后所得到的图象对应的函数为，

，

令，可得，

令，得，，

则关于的二次方程必有两不等实根、，则，则、异号，

（i）当且时，则方程和在区间均有偶数个根，

从而方程在也有偶数个根，不合乎题意；

（ii）当，则，当时，只有一根，有两根，

所以，关于的方程在上有三个根，

由于，则方程在上有个根，由于方程在区间上只有一个根，在区间上无实解，方程在区间上无实数解，在区间上有两个根，因此，关于的方程在区间上有个根，在区间上有个根，不合乎题意；

（iii）当时，则，当时，只有一根，有两根，

所以，关于的方程在上有三个根，

由于，则方程在上有个根，由于方程在区间上无实数根，在区间上只有一个实数根，

方程在区间上有两个实数解，在区间上无实数解，

因此，关于的方程在区间上有个根，在区间上有个根，此时，，得.

综上所述：，.