Question

【题目】如图，在四棱锥中， 是等边三角形， ， .

（1）求证：平面平面；

（2）若直线与所成角的大小为60°，求二面角的大小.

Answer 1

【答案】(1)见解析（2）90°

【解析】【试题分析】（1）由于是等边三角形，结合勾股定理，可计算证明三条直线两两垂直，由此证得平面，进而得到平面平面.（2）根据（1）证明三条直线两两垂直，以为空间坐标原点建立空间直角坐标系，利用和所成角为计算出点的坐标，然后通过平面和平面的法向量计算二面角的余弦值并求得大小.

【试题解析】

（1）∵，

且是等边三角形

∴， ， 均为直角三角形，即， ，

∴平面

∵平面

∴平面平面

（2）以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．

令， ，

∴， ， ， ．

设，则， ．

∵直线与所成角大小为60°，所以

，

即，解得或（舍），

∴，

设平面的一个法向量为．

∵， ，则

即

令，则，所以．

∵平面的一个法向量为，

∵， ，则

即

令，则， ，

∴．

∴，

故二面角的大小为90°．