Question

【题目】设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数．
（1）令g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n∈N+ ， 求gn（x）的表达式；
（2）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）设n∈N+ ， 比较g（1）+g（2）+…+g（n）与n﹣f（n）的大小，并加以证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题设得，

由已知 ，

，

…

可得

下面用数学归纳法证明．①当n=1时， ，结论成立．

②假设n=k时结论成立，即 ，

那么n=k+1时， = 即结论成立．

由①②可知，结论对n∈N+成立．

（2）解：已知f（x）≥ag（x）恒成立，即ln（1+x）≥ 恒成立．

设φ（x）=ln（1+x）﹣ （x≥0），则φ′（x）= ，

当a≤1时，φ′（x）≥0（仅当x=0，a=1时取等号成立），

∴φ（x）在[0，+∞）上单调递增，

又φ（0）=0，

∴φ（x）≥0在[0，+∞）上恒成立．

∴当a≤1时，ln（1+x）≥ 恒成立，（仅当x=0时等号成立）

当a＞1时，对x∈（0，a﹣1]有φ′（x）＜0，∴φ（x）在∈（0，a﹣1]上单调递减，

∴φ（a﹣1）＜φ（0）=0

即当a＞1时存在x＞0使φ（x）＜0，

故知ln（1+x）≥ 不恒成立，

综上可知，实数a的取值范围是（﹣∞，1]．

（3）解：由题设知，g（1）+g（2）+…+g（n）= ，

n﹣f（n）=n﹣ln（n+1），

比较结果为g（1）+g（2）+…+g（n）＞n﹣ln（n+1）

证明如下：上述不等式等价于 ，

在（2）中取a=1，可得 ，

令 则

故有 ，

ln3﹣ln2 ，…

，

上述各式相加可得 结论得证

【解析】（1）由已知 ， ， …可得 用数学归纳法加以证明；（2）由已知得到ln（1+x）≥ 恒成立构造函数φ（x）=ln（1+x）﹣ （x≥0），利用导数求出函数的最小值即可；（3）在（2）中取a=1，可得 ，令 则 ，n依次取1，2，3…，然后各式相加即得到不等式．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．