Question

【题目】如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以线段AB为腰作等腰直角△ABC（C、O两点在直线AB的两侧），当∠AOB变化时，OC≤m恒成立，则m的最小值为______．

Answer 1

【答案】2+1

【解析】

根据题意，以O为坐标原点，OA为x轴建立坐标系，设∠AOB=θ，分析A、B的坐标，可得向量的坐标，又由△ABC为等腰直角三角形，则AC⊥AB且|AC|=|AB|，分析可得向量的坐标，进而由向量坐标的加法可得向量的坐标，进而可得向量的模，分析其最大值，若OC≤m恒成立，分析可得答案．

解：根据题意，以O为坐标原点，OA为x轴建立坐标系，如图：

则A（2，0），设∠AOB=θ，（0≤θ≤π），则B的坐标为（cosθ，sinθ），

则=（cosθ-2，sinθ），

△ABC为等腰直角三角形，则AC⊥AB且|AC|=|AB|，

又由C、O两点在直线AB的两侧，则=（sinθ，2-cosθ），

则=（2+sinθ，2-cosθ），

则||2=（2+sinθ）2+（2-cosθ）2=9+4（sinθ-cosθ）=9+4sin（θ-），

所以当θ=时，||2取得最大值9+4，

则OC的最大值为2+1，

若OC≤m恒成立，则m≥2+1，即m的最小值为2+1；

故答案为：2+1．