题目内容
【题目】已知数列满足:对任意
,都有
.
(1)若,求
的值;
(2)若是等比数列,求
的通项公式;
(3)设,
,求证:若
成等差数列,则
也成等差数列.
【答案】(1)3;(2);(3)见解析.
【解析】
(1)依据下标的关系,有,
,两式相加,即可求出
;(2)依据等比数列的通项公式知,求出首项和公比即可。利用关系式
,列出方程,可以解出首项和公比;(3)利用等差数列的定义,即可证出。
(1)因为对任意,都有
,所以
,
,两式相加,
,解得
;
(2)设等比数列的首项为
,公比为
,因为对任意
,都有
,
所以有,解得
,又
,
即有,化简得,
,即
,
或
,因为
,化简得
,所以
故。
(3)因为对任意,都有
,所以有
,
成等差数列,设公差为
,
,
,
,
,由等差数列的定义知,
也成等差数列。
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