题目内容
【题目】已知抛物线:
(
)的焦点为
,准线为
,若点
在抛物线
上,点
在直线
上,且
是周长为12的等边三角形.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)设过点的直线
与抛物线
交于不同的两点
,
,若
,求直线
斜率的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)根据正三角形的周长可以确定三角形的边长,根据抛物线的定义可以确定,解三角形可以确定
,得到结果;
(2)设出直线方程,与抛物线方程联立,利用韦达定理以及向量数量积坐标公式,建立相应的不等关系式,求解得结果.
(1)因为是周长为12的等边三角形,
所以,
由抛物线的定义可得,设准线
与
轴交于点
,
则,从而
,
在中,
,即
,
所以抛物线的标准方程为
.
(2)由(1)知抛物线的标准方程为
.
又由题意可知,直线的斜率存在且不为0,
因为,所以点
即为
,
设直线的方程为
,
将代入
,消去
可得
,
则,解得
或
.
设,
,
则,
,且
,
,
所以
,
解得,所以直线
的斜率的取值范围为
.
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