Question

如图1，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=

1

2

AP=2，D是AP的中点，E，F，G分别为PC、PD、CB的中点，将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD，如图2．
（Ⅰ）求三棱椎D-PAB的体积；
（Ⅱ）求证：AP∥平面EFG；
（Ⅲ）求二面角G-EF-D的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据要求的三棱锥的体积与已知底面和高的三棱锥的体积相等，写出体积的表示式，得到结果．
（Ⅱ）建立坐标系，写出要用的点的坐标，进而写出向量，设出平面的法向量，求出法向量，根据法向量与直线的方向向量垂直，得到线面平行．
（Ⅲ）两个平面的法向量一个已经求出，另一个在图形中存在，这样根据两个平面的法向量所成的角，得到两个平面的二面角．

解答：解：（Ⅰ）VD-PAB=VP-DAB=

1

3

S△ABD•PD=

1

3

×

1

2

×2×2×2=

4

3

．
（Ⅱ）证明：如图以D为原点，以

DA

，

DC

，

DP

为方向向量建立空间直角坐标系D-xyz．
则有关点及向量的坐标为：

P(0，0，2)，C(0，2，0)，G(1，2，0)， E(0，1，1)，F(0，0，1)，A(2，00).

AP

=(-2，0，2)，

EF

=(0，-1，0)，

EG

=(1，1，-1)
设平面EFG的法向量为

n

=(x，y，z)∴

n • EF =0 n • EG =0

?

-y=0 x+y-z=0

?

x=z y=0

．取

n

=(1，0，1)．
∵

n

•

AP

=1×(-2)+0×0+1×2=0，∴

n

⊥

AP

，
又AP?平面EFG．∴AP∥平面EFG
（Ⅲ）由已知底面ABCD是正方形∴AD⊥DC，又∵PD⊥面ABCD∴AD⊥PD
又PD∩CD=D∴AD⊥平面PCD，∴向量

DA

是平面PCD的一个法向量，

DA

=（2，0，0）
平面EFG的法向量为

n

=(1，0，1)∴cos?

DA

，

n

＞=

DA • n

| DA |•| n |

=

2

2 2

=

2

2

．
结合图知二面角G-EF-D的平面角为45⁰．

点评：本题考查立体几何的综合题目，本题解题的关键是建立坐标系，把一些理论性的证明转化成运算，降低了题目的难度．