题目内容
11．
如图，坐标原点O为矩形ABCD的对称中心，顶点A的坐标为（1，t），AB∥x轴，矩形A′B′C′D′与矩形ABCD是位似图形，点O为位似中心，点A′，B′分是点A，B的对应点，$\frac{A′B′}{AB}$=k．已知关于x，y的元二次一次方程$\left\{\begin{array}{l}{mnx+y=3n+1}\\{3x+y=4}\end{array}\right.$（m，n是实数）无解，在以m，n为坐标（记为m，n）的所有的点中，若有且只有一个点落在矩形A′B′C′D′的边上．则k•t的值等于1．
分析 设相似比为k，则点A′的坐标为（k，kt），根据关于x，y的元二次一次方程$\left\{\begin{array}{l}{mnx+y=3n+1}\\{3x+y=4}\end{array}\right.$（m，n是实数）无解，可得：mn=3且n≠1，若有且只有一个点落在矩形A′B′C′D′的边上．根据反比例函数的对称性，可得反比例函数n=$\frac{3}{m}$（n≠1）的图象只经过点C′，即A′点的坐标为（3，1），进而得到答案．
解答 解：矩形A′B′C′D′与矩形ABCD是位似图形，
设相似比为k，
顶点A的坐标为（1，t），
∴点A′的坐标为（k，kt），
∵关于x，y的元二次一次方程$\left\{\begin{array}{l}{mnx+y=3n+1}\\{3x+y=4}\end{array}\right.$（m，n是实数）无解，
∴mn=3且n≠1，
∵以m，n为坐标（记为m，n）的所有的点中，若有且只有一个点落在矩形A′B′C′D′的边上．
∴反比例函数n=$\frac{3}{m}$的图象只经过点A′和点C′，
而反比例函数n=$\frac{3}{m}$（n≠1）的图象只经过点C′，
即A′点的坐标为（3，1），
∴k•t=1，
故答案为：1．
点评 本题考查的知识点是反比例函数的对称性，一元二次方程根的个数判断，位似图形，是初中知识的综合应用，难度中档．
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