Question

2．已知：直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=2+sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
（Ⅰ）若在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，$\frac{π}{3}$），判断点P是否在直线l上；
（Ⅱ）设点Q是曲线C上一个动点，求点Q到直线l的距离的最大值与最小值的差．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先，将点P化为直角坐标，再将直线的参数方程化为普通方程，最后，判断即可；
（Ⅱ）将圆的参数方程化为普通方程，然后，判断直线与圆的位置关系，再确定其最大值和最小值．

解答 解：（Ⅰ）把点P的极坐标（4，$\frac{π}{3}$）化为直角坐标为（2，2$\sqrt{3}$），
把直线l的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），化为普通方程为
x-$\sqrt{3}$y-$\sqrt{3}$=0，
∵2-$\sqrt{3}×2\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$≠0，
∴点P的坐标不满足直线的方程，故点P不在直线上，
（Ⅱ）∵曲线C的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=2+sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
∴其普通方程为：x²+（y-2）²=1，
它表示以（0，2）为圆心，以1为半径的圆，
∴圆心到直线的距离为d=$\frac{|0-2\sqrt{3}-\sqrt{3}|}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+1}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$＞r=1，
∴直线与圆相离，
∴点Q到直线的距离最小值为d-r=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-1，
最大值为d+r=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$+1，
∴点Q到直线的距离的最大值与最小值的距离的差为2．

点评 本题重点考查了点的极坐标和直角坐标的互化、参数方程和普通方程的互化、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．