题目内容
【题目】如图1,四边形是边长为2的菱形,
,
为
的中点,以
为折痕将
折起到
的位置,使得平面
平面
,如图2.
(1)证明:平面平面
;
(2)求点到平面
的距离.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)由题意可证得,
,所以
平面
,则平面
平面
可证;
(2)解法一:利用等体积法由可求出点
到平面
的距离;解法二:由条件知点
到平面
的距离等于点
到平面
的距离,过点
作
的垂线,垂足
,证明
平面
,计算出
即可.
解法一:(1)依题意知,因为,所以
.
又平面平面
,平面
平面
,
平面
,
所以平面
.
又平面
,
所以.
由已知,是等边三角形,且
为
的中点,所以
.
因为,所以
.
又,所以
平面
.
又平面
,所以平面
平面
.
(2)在中,
,
,所以
.
由(1)知,平面
,且
,
所以三棱锥的体积
.
在中,
,
,得
,
由(1)知,平面
,所以
,
所以,
设点到平面
的距离
,
则三棱锥的体积
,得
.
解法二:(1)同解法一;
(2)因为,
平面
,
平面
,
所以平面
.
所以点到平面
的距离等于点
到平面
的距离.
过点作
的垂线,垂足
,即
.
由(1)知,平面平面
,平面
平面
,
平面
,
所以平面
,即
为点
到平面
的距离.
由(1)知,,
在中,
,
,得
.
又,所以
.
所以点到平面
的距离为
.

【题目】某地方政府召开全面展开新旧动能转换重大工程动员大会,动员各方力量,迅速全面展开新旧动能转换重大工程.某企业响应号召,对现有设备进行改造,为了分析设备改造前后的效果,现从设备改造前、后生产的大量产品中各抽取了200件作为样本,检测一项质量指标值.若该项质量指标值落在内的产品视为合格品,否则为不合格品.如图所示的是设备改造前样本的频率分布直方图.
(1)若设备改造后样本的该项质量指标值服从正态分布,求改造后样本中不合格品的件数;
(2)完成下面2×2列联表,并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量标值与设备改造有关.
0 | 设备改造前 | 设备改造后 | 合计 |
合格品件数 | |||
不合格品件数 | |||
合计 |
附参考公式和数据:
若,则
,
.
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |