题目内容
5.对一切x∈R,|2x+1|+|x+2|≥-a2+4a恒成立,求a的取值范围.分析 求出|2x+1|+|x+2|的最小值为$\frac{3}{2}$,再解不等式,即可求a的取值范围.
解答 解:x<-2时,|2x+1|+|x+2|=-2x-1-x-2=-3x-3>3;
-2≤x≤-$\frac{1}{2}$时,|2x+1|+|x+2|=-2x-1+x+2=-x+1∈[$\frac{3}{2}$,3];
x>-$\frac{1}{2}$时,|2x+1|+|x+2|=2x+1+x+2=3x+3>$\frac{3}{2}$,
∴|2x+1|+|x+2|的最小值为$\frac{3}{2}$,
∵对一切x∈R,|2x+1|+|x+2|≥-a2+4a恒成立,
∴$\frac{3}{2}$≥-a2+4a,
∴a≤2-$\frac{\sqrt{10}}{2}$或a≥2+$\frac{\sqrt{10}}{2}$.
点评 本题考查求a的取值范围,考查函数的最小值,求出|2x+1|+|x+2|的最小值为$\frac{3}{2}$是关键,属于中档题.
练习册系列答案
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