Question

17．已知映射$f：P（m，n）→{P^2}（\sqrt{m}，\sqrt{n}）（m≥0，n≥0）$，设点A（1，3），B（2，2），点M是线段AB上一动点，f：M→M²，当点M在线段AB上从点A开始运动到点B结束时，点M的对应点M²所经过的路线长度为$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，设M²（x，y），得到AB的方程，再由点M在线段AB上可得 x²+y²=4，在圆x²+y²=4上标出A，B所对应的点A′，B′，求出∠A′OB′，由弧长公式得答案．

解答 解：设点M²从A′开始运动，直到点B′结束，由题意知AB的方程为：x+y=4．设M²（x，y），
则M（x²，y²），由点M在线段AB上可得 x²+y²=4．
按照映射f：P（m，n）→${P}^{2}（\sqrt{m}，\sqrt{n}）$，可得 A（1，3）→A′（1，$\sqrt{3}$），B（2，2）→B′（$\sqrt{2}，\sqrt{2}$），
故tan∠A′OX=$\sqrt{3}$，∴∠A′OX=$\frac{π}{3}$．
tan∠B′OX=1，∴∠B′OX=$\frac{π}{4}$，故∠A′OB′=∠A′OX-∠B′OX=$\frac{π}{3}-\frac{π}{4}=\frac{π}{12}$，
∴点M的对应点M²所经过的路线长度为弧长$\widehat{A′B′}$=2×$\frac{π}{12}$=$\frac{π}{6}$，
故答案为：$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查映射概念，解答此题的关键是对题意的正确理解，难度较大．