题目内容
【题目】已知
.
（1）若
，求
在
处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若在
上的最大值为
，求
的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）
，求导
，再求得
，得到切线方程为
.再分别令
，
，得到在坐标轴上的截距，再代入三角形面积求解.
（2）
.
时，
，故
在
上单调递增，易得在上的最大值，当
时，令
，得
.再分
， 
，
三种情况讨论求解.
（1）若
，则，.所以，
.
则切线方程为.令，得
，令，得
，则切线与两坐标轴围成的三角形面积为
.
（2）.
（ⅰ）当时，，故在上单调递增，
所以在上的最大值为
.所以.
（ⅱ）当时，令，得.
①当
，即时，在上单调递增，
所以在上的最大值为，所以
，舍去.
②当
，即时，在上单调递减，
所以在上的最大值为
，所以
，不满足，舍去.
③当
，即时，在
上单调递减，在
上单调递增.
由上面分析可知，当时，
不可能是最大值.
而
，
，由
，可得
，
此时，
，的最大值为.
所以，不符合，舍去.
综上可知，.
【题目】某省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“
”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：从2021年夏季高考开始，高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为
五个等级，确定各等级人数所占比例分别为
，
，，
，
，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将
至
等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到
、
、
、
、
五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为100分.具体转换分数区间如下表：
等级 |
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比例 |
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赋分区间 |
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而等比例转换法是通过公式计算：
其中
，
分别表示原始分区间的最低分和最高分，
、
分别表示等级分区间的最低分和最高分，
表示原始分，
表示转换分，当原始分为，时，等级分分别为、
假设小南的化学考试成绩信息如下表：
考生科目 | 考试成绩 | 成绩等级 | 原始分区间 | 等级分区间 |
化学 | 75分 |
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设小南转换后的等级成绩为，根据公式得：
，
所以
（四舍五入取整），小南最终化学成绩为77分.
已知某年级学生有100人选了化学，以半期考试成绩为原始成绩转换本年级的化学等级成绩，其中化学成绩获得等级的学生原始成绩统计如下表：
成绩 | 95 | 93 | 91 | 90 | 88 | 87 | 85 |
人数 | 1 | 2 | 3 | 2 | 3 | 2 | 2 |
（1）从化学成绩获得等级的学生中任取2名，求恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率；
（2）从化学成绩获得等级的学生中任取5名，设5名学生中等级成绩不小于96分人数为
，求的分布列和期望.
