Question

已知正方形ABCD的边长为1，沿对角线AC把△ACD折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为

π

4

．

Answer 1

分析：先作出直线BD与面ABC所成角，计算三棱锥的体积，求出其最大值，可得△BOD是等腰Rt△，从而可得结论．

解答：解：如图所示，O为正方形ABCD的中心，
∵BO⊥AC，DO⊥AC，
∴AC⊥面BOD，
∵AC?面ABC，∴面BOD⊥面ABC
∴BD在面ABC的射影是BO，∠BDO=φ是直线BD与面ABC所成角．
设∠BOD=θ（0°＜θ＜180°），正方形ABCD的边长为1，则BO=DO=

2

2

∴△BOD的面积=

1

2

BO×DO×sinθ=

1

4

sinθ．
∴三棱锥体积=

1

3

S_△BOD×AC=

2

12

sinθ≤

2

12

，
∴θ=90°时，三棱锥体积最大，此时△BOD是等腰Rt△，
∴φ=45°，即当A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时候，直线BD与面ABC所成角为45°．
故答案为

π

4

．

点评：本题考查平面图形的翻折，考查三棱锥体积的计算，考查线面角，考查学生的计算能力，属于中档题．