题目内容
【题目】如图,在三棱锥中,
底面
,
.
、
分别为
和
的中点.
为侧棱
上的动点.
(Ⅰ)求证: 平面
;
(Ⅱ)求证:平面平面
;
(Ⅲ)试判断直线与平面
是否能够垂直.若能垂直,求
的值;若不能垂直,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析;(Ⅲ) .
【解析】试题分析:
(Ⅰ)由题意结合几何关系可证得是平行四边形,则
,
平面
(Ⅱ)由题意结合几何关系可证得,
,则
平面
,平面
平面
;
(Ⅲ)原命题成立,则仅需在平面内再找一条和
相交的直线和
即可.考查
的情况,结合相似三角形的性质可得
.
试题解析:
(Ⅰ)证明:∵是三棱柱,
∴三个侧面都是平行四边形, 且
,
又∵、
分别为
和
的中点,
∴且
,
∴且
,
∴是平行四边形,
∴,
∵平面
,
平面
,
∴平面
.
(Ⅱ)证明:∵底面
,
∴底面
,
∴,
又∵,
,
又∵是
中点,
∴,
∵,
平面
,
∴平面
,
则平面平面
;
(Ⅲ)直线与平面
能够垂直,且
,
由(Ⅱ)知平面
,
∴,
若要使平面
,仅需在平面
内再找一条和
相交的直线和
即可.
此时我们取平面内和
相交的直线
,
若,则
与
相似,
∴,
∴.
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