题目内容
【题目】如图①，已知直角梯形ABCD中，
，
，过A作
，垂足为E.现将
沿AE折叠，使得
，如图②.
（1）求证：
；
（2）若FG分别为AE，DB的中点.
（i）求证：
平面DCE；
（ii）求证：平面
平面DBC.
【答案】（1）证明见解析；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【解析】
（1）证明
平面
得出
，再根据
得出
；
（2）（i）取
的中点
，连接
、
，证明四边形
是平行四边形，得出
，故而
平面；
（ii）由
可得四边形为矩形，可得 
，证明
可得
，从而
平面
，故平面
平面
.
证明：（1）在图①中，
，
∴在图②中，，
，
又
平面CDE，
平面CDE，
，
平面CDE，
，
由图①可知四边形ABCD是矩形，
，
∴在图②中，
，
故
；
（2）（i）取CD的中点H，连接EH，HG，
H，G分别是CD，BD的中点，
，
，
四边形ABCE是矩形，F是AE的中点，
，
，
∴四边形EFGH是平行四边形，
，又
平面CDE，
平面CDE，
平面CDE.
（ii）由（1）可知平面CDE，
，
由（i）可知四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是矩形，
，
，
，
，又G是BD的中点，
，
又
平面BCD，
平面BCD， 
，
平面BCD，
又
平面BDF，
∴平面
平面BDF.
【题目】大型综艺节目《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的，要学会盲拧也是很容易的.根据调查显示，是否喜欢盲拧魔方与性别有关.为了验证这个结论，某兴趣小组随机抽取了50名魔方爱好者进行调查，得到的情况如下表所示：
喜欢盲拧 | 不喜欢盲拧 | 总计 | |
男 | 22 | 30 | |
女 | 12 | ||
总计 | 50 |
表1
并邀请这30名男生参加盲拧三阶魔方比赛，其完成情况如下表所示：
成功完成时间（分钟） | [0，10) | [10，20) | [20，30) | [30，40] |
人数 | 10 | 10 | 5 | 5 |
表2
（1）将表1补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关？
（2）根据表2中的数据，求这30名男生成功完成盲拧的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
（3）现从表2中成功完成时间在[0，10)内的10名男生中任意抽取3人对他们的盲拧情况进行视频记录，记成功完成时间在[0，10)内的甲、乙、丙3人中被抽到的人数为
，求的分布列及数学期望
.
附参考公式及数据：
，其中
.
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
