题目内容
【题目】已知函数(
,
是自然对数的底数)
(Ⅰ) 设(其中
是
的导数),求
的极小值;
(Ⅱ) 若对,都有
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)求出,分别令
求得
的范围,可得函数
增区间,
求得
的范围,可得函数
的减区间,结合单调性可求得函数的极值;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
在
上单调递增,在(0,1)上单调递减,
.讨论当
时,当
时两种情况,分别利用对数以及函数的单调性,求出函数最值,从而可筛选出符合题意的实数
的取值范围.
(Ⅰ),
.
令,∴
,
∴在
上为增函数,
.
∵当时,
;当
时,
,
∴的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为
,
∴.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,在
上单调递增,在(0,1)上单调递减,
∴.
当时,
,
在
上单调递增,
,满足条件;
当时,
.
又∵,∴
,使得
,
此时,,
;
,
,
∴在
上单调递减,
,都有
,不符合题意.
综上所述,实数的取值范围为
.
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