题目内容
【题目】设为平面上
个点的集合,其中任三点不共线,任四点不共圆.一个圆被称为“好圆”是指
中有三个点在圆上,
个点在圆内,
个点在圆外.求证:好圆的个数与
有相同的奇偶性.
【答案】见解析
【解析】
考虑个点对
,设包含点对
的好圆个数为
,则好圆总个数应为
(因为每个圆包含三个点对).由于
与
同奇偶,故只须证明所有
均为奇数即可.
对任一点对,把在
下方的任一点,比如说
,在上方作一点
,使
,把
下方的所有点通过此种变换变到
上方.由于四点不共圆,故
上方的所有点对
的张角大小互不相同.将除
外的
个点按张角从小到大的顺序标号
.若此点原来就在
上方,则标记“上”;若此点是由原来在
下方的点变换而得,则标“下”.由于每个点只和它对
的张角的大小有关系,故不妨将
个点排成一条与
垂直的直线
,张角小的在上.注意到,若过
、
、
三点作圆
,则对于那些标有“下”的点来说,若它处于圆
内,则变换前必处于圆
外,反之亦然.
从而,过点、
、
的圆为好圆等价于
上方的“上”点数
下方的“下”点数
下方的“上”点数
上方的“下”点数
. ①
于是,只须证明:满足上面条件的有奇数个.
(1)当均为“上”点,显然,只有一个点
满足条件,点数为奇数.
此时,“下”点个数为0个.
(2)若,易知点数为奇数.
对一般的个点:
(i)若1和均标“上”,则1和
必同时满足或不满足条件.
而由对称性,可去掉1,两点,剩下的点原来满足条件与否等价于现在满足条件与否.
故可把个点的情形化为
个点的情形(它们的奇偶性相同).
(ii)若1,两点中有1个点标“下”,不妨设为1,把点1标的“下”改为“上”,并放到
点的下面,标号
,则原来点1满足式①当且仅当现在点
满足式①,原来
满足式①当且仅当现在变换后点
满足式①.若是点
标“下”,把“下”改为“上”放到点1的上面,情况完全类似.此时,“下”的个数减少1,虽然点数没变.
故不断对个点进行操作(i)或(ii),可使得点数不断减少(每次减少2)或“下”点数不断减少(每次减少1).于是,有限步后,必变成无标“下”的点或只有3个点的情形.此时,由(1)、(2)即可获证.
综上所述,原命题得证.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】金秋九月,丹桂飘香,某高校迎来了一大批优秀的学生.新生接待其实也是和社会沟通的一个平台.校团委、学生会从在校学生中随机抽取了160名学生,对是否愿意投入到新生接待工作进行了问卷调查,统计数据如下:
愿意 | 不愿意 | |
男生 | 60 | 20 |
女士 | 40 | 40 |
(1)根据上表说明,能否有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关;
(2)现从参与问卷调查且愿意参加新生接待工作的学生中,采用按性别分层抽样的方法,选取10人.若从这10人中随机选取3人到火车站迎接新生,设选取的3人中女生人数为,写出
的分布列,并求
.
附:,其中
.
0.05 | 0.01 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |