题目内容
10．在△ABC中，给出下列命题：①若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰三角形；
②若$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=c，则△ABC是直角三角形；
③若sinA=cosB，则△ABC是直角三角形；
④若tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC是锐角三角形；
其中正确的命题是（ ）
| A． | ②④ | B． | ②③ | C． | ②③④ | D． | ①②③④ |
分析 ①由sin2A=sin2B，得出△ABC是等腰或直角三角形；
②由正弦定理得出△ABC是直角三角形；
③举例说明sinA=cosB时，△ABC不一定是直角三角形；
④由tanA+tanB+tanC＞0，得出tanAtanBtanC＞0，判断△ABC是锐角△．
解答 解：对于①，sin2A=sin2B时，2A=2B或2A+2B=π，
∴A=B或A+B=$\frac{π}{2}$，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，①错误；
对于②，由正弦定理得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=c，∴sinC=1，
∴C=$\frac{π}{2}$，∴△ABC是直角三角形，②正确；
对于③，不妨令A=100°，B=10°，此时sinA=cosB，
△ABC不是直角三角形，∴③错误；
对于④，∵tanC=tan[π-（A+B）]
=-tan（A+B）
=-$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$
∴tanA+tanB=tanC（tanAtanB-1）
∴tanA+tanB+tanC=tanC（tanAtanB-1）+tanC
=tanAtanBtanC＞0，
∴A、B、C都是锐角，△ABC是锐角三角形，④正确；
综上，正确的命题是②④．
故选：A．
点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了解三角形的应用问题，考查了分析问题与解决问题的能力，是综合性题目．
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