题目内容
【题目】已知定义域为的函数
是奇函数.
(1)求实数的值;
(2)判断的单调性并用定义证明;
(3)已知不等式恒成立, 求实数
的取值范围.
【答案】(1); (2)
减函数,证明见解析; (3)
.
【解析】
(1)根据奇函数的定义域若存在x=0,则f(0)=0,求解参数的值;
(2)结合y=2x的性质,通过证明任意,有
,证明函数是减函数;
(3)根据函数的奇偶性,将不等式恒成立转化为不等式
恒成立,再结合函数的单调性求解
.
(1)是
上的奇函数,
,
得
(2)减函数,证明如下:
设是
上任意两个实数,且
,
,即
,
,
,即
,
在
上是减函数
(3)不等式
恒成立,
是奇函数
,即不等式
恒成立
又
在
上是减函数,
不等式
恒成立
当时,得
当时,得
综上,实数的取值范围是
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