Question

【题目】在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）= ， C与l有且仅有一个公共点．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB= ， 求|OA|+|OB|的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），变形ρ2=2ρacosθ，化为x2+y2=2ax，即（x﹣a）2+y2=a2 ．
∴曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；
由l：ρcos（θ﹣）=，展开为，
∴l的直角坐标方程为x+y﹣3=0．
由直线l与圆C相切可得=a，解得a=1．
（Ⅱ）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，
则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）
=3cosθ﹣sinθ=2cos（θ+），
当θ=﹣时，|OA|+|OB|取得最大值2．
【解析】（I）把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的性质即可得出a；
（II）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+ ， 则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=2cos（θ+），利用三角函数的单调性即可得出．