题目内容

【题目】已知椭圆的一个焦点为,且离心率为

1)求椭圆方程;

2)斜率为的直线过点,且与椭圆交于两点, 为直线上的一点,若为等边三角形,求直线的方程.

【答案】(1;(2)直线的方程为,或.

【解析】试题分析:本题主要考查椭圆的标准方程以及几何性质、直线与椭圆相交问题、韦达定理、两点间距离公式、直线的方程等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,利用椭圆的标准方程中a,b,c的关系,焦点坐标,离心率列出方程组,解出ab,从而得到椭圆的标准方程;第二问,点斜式设出直线方程,由于直线与椭圆交于AB,则直线与椭圆方程联立消参得到关于x的方程,设出AB点坐标,利用韦达定理,得到,再结合两点间距离公式求出的长,利用中点坐标公式得出AB中点M的坐标,从而求出|MP|的长,利用为正三角形,则,列出等式求出k的值,从而得到直线的方程.

1)依题意有

可得

故椭圆方程为. 5分

2)直线的方程为

联立方程组

消去并整理得

的中点为

可得

直线的斜率为,又

所以

为正三角形时,

可得

解得

即直线的方程为,或13

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