Question

如图，已知是直角梯形，，，，平面．
(1) 证明：；
(2) 在上是否存在一点，使得∥平面？若存在，找出点，并证明：∥平面；若不存在，请说明理由；
（3）若，求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）证明见解析（2）存在（3）二面角的余弦值为

（1）由已知易得，．
∵ ， ∴ ，即．
又 ∵ 平面，平面，∴ ．
∵ ，∴ 平面．又∵ 平面， ∴ ．
(2) 存在．取的中点为,连结,则∥平面．证明如下：
取的中点为,连结． ∵，， ∴，且，
∴四边形是平行四边形，即．
∵ 平面，∴ 平面.
∵分别是的中点，∴ ．
∵ 平面，∴ 平面．∵ ，∴平面平面．
∵ 平面，∴平面．
（3）如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则有，，，，，，， 
由题意知，平面，所以是平面的法向量．
设是平面的法向量，
则，即．
所以可设．所以．
结合图象可知，二面角的余弦值为．