题目内容
【题目】已知椭圆的离心率为
,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的
与直线
相切.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过定点斜率为
的直线与椭圆
交于
两点,若
,求斜率
的值;
(Ⅲ)若(Ⅱ)中的直线与
交于
两点,设点
在
上,试探究使
的面积为
的点
共有几个?证明你的结论.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
;(Ⅲ)见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)运用椭圆的离心率公式和直线和圆相切的条件,结合的关系,解方程可得
,进而得到椭圆方程;(Ⅱ)设直线
方程为
,代入椭圆方程,运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示,解方程可得斜率
;(Ⅲ)求得圆心到直线的距离,圆的弦长
,由三角形的面积公式可得
到
的距离,结合半径与圆心到直线的距离之差的关系,即可判断
的个数.
试题解析:(Ⅰ)原点到直线
的距离
.
所以,椭圆
的方程为
.
(Ⅱ)将直线与椭圆
联立,消去
,整理得
,由韦达定理得
.
.
.
令,得
.
(Ⅲ)由(2)知,直线的方程为
或
.
原点到直线
的距离
,
弦长
.
若上存在点
使
的面积为
,则点
到直线
的距离
.
当直线
的斜率
时,有4个点
使
面积为
;当直线
的斜率
时,有4个点
使
面积为
.
【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和数量积公式,属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤;①作判断:根据条件判断椭圆的焦点在轴上,还是在
轴上,还是两个坐标轴都有可能;②设方程:根据上述判断设方程
或
;③找关系:根据已知条件,建立关于
、
、
的方程组;④得方程:解方程组,将解代入所设方程,即为所求.
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