Question

【题目】（1）求对称轴是轴，焦点在直线上的抛物线的标准方程；

（2）过抛物线焦点的直线它交于两点，求弦的中点的轨迹方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）根据题意知道焦点就是直线和x轴的交点，根据抛物线的定义得到方程即可；

（2）先考虑直线的斜率不存在时的情况；再考虑直线斜率存在时，联立直线和抛物线根据韦达定理得到中点坐标为，再消参即可。

解析：

（1）对称轴是轴则顶点在焦点在轴

所以，则， ，

.

（2）由题知抛物线焦点为，

当直线的斜率存在时，设为，则焦点弦方程为，

代入抛物线方程得所以，由题意知斜率不等于0，

方程是一个一元二次方程，由韦达定理：

所以中点坐标：

代入直线方程

中点纵坐标；

即中点为

消参数，得其方程为

当直线的斜率不存在时，直线的中点是，符合题意，

综上所述，答案为.