题目内容

【题目】已知函数,当x = -1时取得极大值7,当x = 3时取得极小值;

(1)求a,b的值;

(2)求f(x)的极小值。

【答案】(1);(2).

【解析】

利用函数f(x)在x=x0取得极值的充要条件f(x0)=0f(x)在x=x0的左右附近符号相反即可得出a,b的值,再利用极大值即可得到c,从而得出答案.

(1)∵f(x) = x3+ ax2+bx + c ,∴f′ (x) = 3x2+2ax +b

x =- 1 时函数取得极大值7,当x = 3时取得极小值

∴x =- 1 x = 3是方程f′ (x)=0的两根,有

, ∴f(x) = x3-3x2-9x+c.

(2)∵x = -1时,函数取极大值7,∴(-1)3–3(-1)2–9(-1)+c= 7,∴c=2.

此时函数f(x)的极小值为:f(3)= 33-3×32-9×3×2=-25.

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