题目内容
【题目】如图，已知四棱锥
的底面
是平行四边形， 
， 
， 
， 
，平面
底面
，直线
与底面
所成的角为
．
（1）证明：平面
平面
；
（2）求二面角
的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
.
【解析】试题分析：(1)先结合勾股定理证明
,然后利用面面垂直的性质定理得到
再结合条件利用勾股定理证得
,利用线面垂直的判定定理得到
平面
,进而证得平面
平面
；
(2), 分别以
、
、
所在直线为
轴、
轴、
轴建立如图所示的空间直角坐标系,由坐标,利用向量法进行求解.
试题解析：
（1）证明：因为
， 
， 
，所以
，则
．
又因为平面
底面
，平面
平面
，所以
平面
．
而
平面
，所以
.
于是
即为
与底面
所成的角，即
．
因为
，所以
， 
，
由
， 
，得
，解得
，
从而
，于是
，
因为
，所以
平面
．
而
平面
，所以平面
平面
.
（2）由（1）知
、
、
两两垂直，分别以
、
、
所在直线为
轴、
轴、
轴建立如图所示的空间直角坐标系．
因为
， 
， 
， 
，
所以
， 
， 
，
设平面
的一个法向量为
，则
解得
取
，则
．
设平面
的一个法向量为
，则
解得
取
，则
．
令二面角
为
，显然
为钝角，则
．
所以二面角
的余弦值为
．
快捷英语周周练系列答案
【题目】随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式.某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数如下表.
年龄（单位：岁） | [15,25） | [25,35） | [35,45） | [45,55） | [55,65） | [65,75） |
频数 | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
赞成人数 | 5 | 10 | 12 | 7 | 2 | 1 |
（Ⅰ）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面
列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关；
年龄不低于45岁的人数 | 年龄低于45岁的人数 | 合计 | |
赞成 | |||
不赞成 | |||
合计 |
（Ⅱ）若从年龄在[25,35）和[55,65）的被调查人中按照分层抽样的方法选取6人进行追踪调查，并给予其中3人“红包”奖励，求3人中至少有1人年龄在[55,65）的概率.
参考数据如下：
附临界值表：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
的观测值： 
（其中
）
【题目】近年来空气质量逐步恶化，雾霾天气现象增多，大气污染危害加重.大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病.为了解心肺疾病是否与性别有关，在市第一人民医院随机对入院50人进行了问卷调查，得到如下的列联表：
患心肺疾病 | 不患心肺疾病 | 合计 | |
男 | 20 | 5 | 25 |
女 | 10 | 15 | 25 |
合计 | 30 | 20 | 50 |
（1）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；
（2）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3位进行其他方面的排查，其中患胃病的人数为
，求
的分布列、数学期望.
参考公式： 
，其中
.
下面的临界值仅供参考：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
